Matemática rápida.

Boa noite galera, estava eu aqui as 2 da manhã brincando de calcular com as freqüências das notas e me deparei com uma coisa bem legal.

No final mostro como eu calculo isso que eu vou dizer agora.

Todos sabemos que o lá 440Hz é uma mentira, que arredondaram esse número e fizeram um padrão musical ocidental. O lá varia entre 430 a 460Hz e alguns estudiosos dizem que o lá 431 é o "verdadeiro" lá. E eu, me perguntando por que, calculei a freqüência do dó a partir desse lá 431.

o dó que nós usamos tem base no 16,32Hz
o dó do La431Hz tem 16Hz

OU SEJA, o dó acaba tendo suas frequencias numa sequencia binária:

1 2 4 8 16 32 64...

Ao notar isso, me veio na cabeça a escala harmônica de dó:

Dó, dó, sol, dó, mi, sol, sib, dó, ré, mi, fá#, sol, lá, síb, sí, dó.

Ao pensar no dó como freqüência exata (16Hz ao invés de 16,32Hz) notei que a série harmonica nada mais é do que os números naturais:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Eu calculei as freqüências das notas correspondentes e a prescisão foi bem boa para um calculo feito a mão, sem computador e usando apenas 2 casas depois da virgula:

Dó 1
Dó 2
Sol 2,99 (3)
Dó 3,99 (4)
Mi 5,01 (5)
Sol 5,98 (6)
Sib 7,05 (7)
Dó 7,99 (­8 )
Ré 8,96 (9)
Mi 10,03 (10)
Fá# 11,14 (11)
Sol 11,96 (12)
Lá 13,4 (13)
Síb 14,1 (14)
Sí 15,01 (15)
Dó 15,98 (16)

Notei também que o fá# (#11) e o Lá (#13) estão mais "foras", e na série harmonica, essas são as notas mais "desafinadas" quando comparadas com a escala temperada.

Achei interessante que cada nota se encaixa com cada número tão bem. Notei como o dó é "importante" para nós, alem dele se encaixar com a série binária, ele se encaixa com os números naturais.

Não sei de vocês, mas eu achei isso bem interessante de se "descobrir", nunca tinha ouvido falar nessa relação, e me respondeu o por que da serie harmonica ter esta "ordem", por que as frequencias são multiplas de 1 à 16. Não testei ainda com cálculos, mas acredito que a partir do 17 a série harmônica começa a se repetir.

Obs.: Para calcular as freqüências usei a escala não temperada, onde o bemol e o sustenidos são diferentes, e a relação de uma oitava é x⁵⁵=2 e não x¹²=2.

A lógica do cálculo é o seguinte:

Na escala temperada

Para calcularmos frequencias de notas, primeiro devemos saber o que é a escala musical, ela é basicamente uma progressão aritimética, onde a razão entre as oitavas é 2. Numa oitava temos 12 notas (e não 8 rerere), então a razão entre as notas é x¹². Ou 1,059. Isso indica que entre Dó e Dó#(ou réb) a frequencia aumenta 1,059 vezes. Assim é só calcularmos a frequencia desejada baseado numa frequencia que sabemos.
Ex.:
De lá440 para o próximo ré: nós temos entre lá e ré 5 semitons, então vamoz fazer 440Hz x 1,059⁵, o ré deve ter 586,047Hz (alguem com um afinador teste por favor:))

Na escala destemperada

É bem parecido com a temperada, mas devemos pensar em comas, e não em semi tons. Dentro de uma oitava temperada temos 12 semitons, mas na destemperada temos 55 comas (cada tom tem 9 comas e cada semitom tem 5 comas), logo nossa razão da PG será de 1,012682 para cada coma. Como um tom tem 9 comas, entre Dó e Ré temos a razão de 1,012682⁹, entre Dó e Réb temos 1,012682⁴ e entre dó e dó# temos 1,012682⁵

A escala destemperada resulta em(vou por a quantidade de comas que distanciam as notas entre elas):
Dó 4 Réb 1 Dó# 4 Ré 4 Mib 1 Ré# 4 Mi 5 Fá 4 Solb 1 Fá# 4 Sol 4 Láb 1 Sol# 4 Lá 4 Sib 1 Lá# 4 Si 5 Dó

Ex.: De lá 440hz para o próximo ré: Desta vez, não iremos pensar em semitons e sim em comas, entre o lá e o ré temos 23 comas, então faremos 440 x 1,012682²³, isso resulta em 587,941Hz

Conclusão, a escala temperada é um pouco desafinada em comparação a destemperada.

Espero não embaralhar vocês pessoal, eu mesmo me embaralho um pouco com isso. Abraços e até a próxima.

esqueci de comentar, o simbolo ^ significa potência. Ex.: 2²=2^2

Malka,

Usa a tag (BBCode) sup, para representar exponenciação, assim:

Código:

2[sup]4[/sup]

Vai ficar assim:

2⁴

Valeu boss, pode deixar vou editar

Malka, fiquei um pouco embaralhado, mas entendi o raciocínio rsrs
O que acho curioso é o seguinte: já ouviu música afinada no sistema destemperado e natural? Soa muito estranho para nossos ouvidos acostumados com a afinação "achatada" um pouco pra lá e um pouco pra cá para caber doze semitons em uma oitava.
Mesmo que a natureza e a física diga o contrário, nossa audição moderna diz que o sistema temperado é o que faz sentido físico.

Fala qual parte não entendeu, Fma, que a gente conversa mais =)

E realmente, o costume nos leva a pensar que a temperada é a "certa"

Eu entendi sim, só que números não são o melhor método pra eu aprender algo hehehehehe não me dou muito bem com eles
se não me engano, a partir de onde você parou na série harmônica, as notas vão andar cromaticamente
Dependendo da situação, um bom violinista corrige levemente a afinação quando toca aquele fá# e o lá que são meio desafinados na série

pelo o que eu andei raciocinando antes de dormir (eu sofro de leve insonia por conta de trabalhar no turno da noite), cada numero primo que aparecer depois do 16 é múltiplo da frequência de uma nota que ainda não apareceu. A hora que sobrar um tempo, vou puxar a calculadora e continuar calculando para além do 17